Pitágoras

Pitágoras de Samos (580 a. C. – 495 a. C.) fue un filósofo y matemático griego considerado el primer matemático puro. Contribuyó de manera significativa en el avance de la matemática helénica, la geometría y la aritmética, derivadas particularmente de las relaciones numéricas, y aplicadas por ejemplo a la teoría de pesos y medidas, a la teoría de la música o a la astronomía. Es el fundador de la Hermandad Pitagórica, una sociedad que, si bien era de naturaleza predominantemente religiosa, se interesaba también en medicina, cosmología, filosofía, ética y política, entre otras disciplinas. El pitagorismo formuló principios que influyeron tanto en Platón como en Aristóteles y, de manera más general, en el posterior desarrollo de la matemática y en la filosofía racional en Occidente.

No se conserva ningún escrito original de Pitágoras. Sus discípulos -los pitagóricos- invariablemente justificaban sus doctrinas citando la autoridad del maestro de forma indiscriminada, por lo que resulta difícil distinguir entre los hallazgos de Pitágoras y los de sus seguidores. Se le atribuye a Pitágoras la teoría de la significación funcional de los números en el mundo objetivo y en la música; otros descubrimientos, como la inconmensurabilidad del lado y la diagonal del cuadrado o el teorema de Pitágoras para los triángulos rectángulos, fueron probablemente desarrollados por la escuela pitagórica.

Astronomía

Pitágoras enseñaba que la Tierra estaba situada en el centro del universo, y que la órbita de la Luna estaba inclinada hacia el ecuador de la Tierra; fue de los primeros en revelar que el «Lucero del alba» era el mismo planeta que el «Lucero de la tarde», Venus. Sin embargo, según Teofrasto, fue Parménides quien descubrió la esfericidad de la Tierra así como la identidad del Lucero del alba; la autoría de Pitágoras parece provenir de un poema dedicado a él, así como de la tradición que sitúa a Parménides como alumno de Pitágoras.

Filolao afirmaba que la Tierra se movía, pero no sobre su propio eje, sino alrededor del «fuego central», concepto que no equivalía al Sol, sino que para él era una fuerza situada en el centro del mundo. El descubrimiento de la rotación de la Tierra alrededor de su eje se atribuye al pitagórico Hicetas de Siracusa, idea que también enseñaban Ecfanto de Siracusa y Heráclides Póntico. La teoría de un movimiento combinado de la Tierra alrededor de su propio eje y también alrededor del Sol, en cambio, no fue obra de los pitagóricos sino que fue afirmada por primera vez por Aristarco de Samos, astrónomo aristotélico.

Música

Se le adjudica a Pitágoras el descubrimiento de las leyes de los intervalos musicales regulares, es decir, las relaciones aritméticas de la escala musical. Diógenes Laercio le atribuye la invención del monocordio, un instrumento musical de una sola cuerda. Ilustra la ley según la cual «la altura del sonido es inversamente proporcional a la longitud de la cuerda». Los principios de la música fueron sin duda tan importantes para el sistema pitagórico como los principios matemáticos mismos, o las nociones sobre «números». La expresión de la Naturaleza en términos matemáticos -como las proporciones y las razones- es una idea clave dentro de la filosofía desarrollada por los pitagóricos. «Estos filósofos notaron que todos los modos de la armonía musical y las relaciones que la componen se resuelven con números proporcionales».

La afinación pitagórica es una gama musical construida sobre intervalos de quintas perfectas de razón 3/2. Las frecuencias pitagóricas de la nota «Do» son las siguientes: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, 2048...

Matemáticas

La «ciencia matemática» practicada por Pitágoras y los matematikoi difiere del tratamiento de esta ciencia que se lleva a cabo en universidades o instituciones modernas. Los pitagóricos no estaban interesados en «formular o resolver problemas matemáticos», ni existían para ellos «problemas abiertos» en el sentido tradicional del término. El interés de Pitágoras era el de «los principios» de la matemática, «el concepto de número», «el concepto de triángulo» (u otras figuras geométricas) y la idea abstracta de «prueba». Como señala Brumbaugh,"Es difícil para nosotros hoy en día, acostumbrados como estamos a la abstracción pura de las matemáticas y el acto mental de la generalización, el apreciar la originalidad de la contribución pitagórica."

Entre los descubrimientos matemáticos que se atribuyen a la escuela de Pitágoras se encuentran:

ticos que se atribuyen a la escuela de Pitágoras se encuentran:

• El teorema de Pitágoras. En un triángulo rectángulo: «la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa». Si bien este resultado y las ternas pitagóricas eran conceptos ya conocidos y utilizados por los matemáticos babilonios y de la India desde mucho tiempo, fueron los pitagóricos los primeros que enunciaron una demostración formal del teorema; esta demostración es la que se encuentra en Los Elementos de Euclides. También demostraron el inverso del teorema: si los lados de un triángulo satisfacen la ecuación, entonces el triángulo es rectángulo. Debe hacerse hincapié además, en que «el cuadrado de un número» no era interpretado como «un número multiplicado por sí mismo», como se concibe actualmente, sino en términos de los lados de un «cuadrado geométrico».

• Sólidos perfectos. Los pitagóricos demostraron que sólo existen 5 poliedros regulares. Se cree que Pitágoras sabía cómo construir los tres (o cuatro) primeros, pero fue Hipaso de Metaponto (470 a.C.) quien descubrió el dodecaedro. Se debe a Teeteto la demostración de que no existen otros poliedros regulares convexos.

• Ángulos interiores de un triángulo. Encontraron que la suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a dos rectos, así como la generalización de este resultado a polígonos den - lados.

• Un triángulo inscrito en un semicírculo es un triángulo rectángulo. Proposición de origen pitagórico (según Diógenes).
• Construcción de figuras dada un área determinada. Por ejemplo la resolución de ecuaciones como a•(a-x)=x² por métodos geométricos.

• La irracionalidad de la raíz cuadrada de 2. Los pitagóricos descubrieron que la diagonal de un cuadrado de lado 1 no puede expresarse como un cociente de números enteros. Este evento marca el descubrimiento de los números irracionales, si bien a la época, sólo podía entenderse en términos de inconmensurabilidad de magnitudes [números] «enteras», o «proporciones geométricas». Un método de aproximación posiblememente desarrollado por Arquitas, utiliza el algoritmo de Euclides, y está presente en Los Elementos.

• El descubrimiento de los Números perfectos y los Números amigos. Jámblico atribuye a Pitágoras el haber descubierto el par de números amigos (220, 284).

• Medias. Los pitagóricos examinaron exhaustivamente las razones y proporciones entre los números enteros; la media aritmética, la media geométrica y la media armónica y las relaciones entre ellas.

• El descubrimiento de los Números poligonales. Un número es «poligonal» (triangular, cuadrangular, pentagonal, hexagonal, etc.) si tal número de puntos se pueden acomodar formando el polígono correspondiente.

• Tetraktys. Se atribuye a Pitágoras el haber ideado la «Tetraktys», la figura triangular compuesta por diez puntos ordenados en cuatro filas. Fue un símbolo de especial importancia para los pitagóricos, que solían juramentar en su nombre.